Znajdź ciąg trzynastu kolejnych liczb naturalnych nie będących liczbami pierwszymi.
Opracuj sposób na poszukiwanie takiego ciągu liczb.

Wśród uczestników, którzy przyślą prawidłowe rozwiązania, zostaną rozlosowane
ciekawe, wartościowe i niesamowite GRY lub KSIĄŻKI.

Pełne rozwiązanie zadania konkursowego prosimy przekazać do 1 grudnia 2019 r.
Rozwiązania prosimy przesyłać na adres:
biuro@swiatmatematyki.pl, tytuł maila „konkurs SM55”,
lub pocztą na adres redakcji: „Świat Matematyki”, ul. Oleśnicka 15b, 50-320 Wrocław.

 * * *

Prawidłowe rozwiazania nadesłali: Kacper Ż. - Węgorzewo; Andrzej B. - Warszawa; Leszek M. - Szczecin;Łukasz R. - Szczecin; Mikołaj G. - Dąbrowa Chełmińska

ROZWIĄZANIE

Ciąg trzynastu kolejnych liczb naturalnych, nie będących liczbami pierwszymi, to na przykład:

14! + 2;  14! + 3;  14! + 4; ... ;  14! + 13;  14! + 14.

Kluczem do rozwiązania tego zadania jest spostrzeżenie, że dla każdej liczby naturalnej m, (m + 1)!, jest podzielna przez wszystkie liczby naturalne od 2 do m + 1.

Wobec tego, dla każdego naturalnego k, gdzie 2 <= k <= m+1, liczba (m + 1)! + k jest podzielna przez k i większa od k. W związku z tym dla dowolnej liczby naturalnej n ciąg n kolejnych liczb naturalnych nie będących liczbami pierwszymi ma postać:

(n + 1)! + 2;  (n + 1)! + 3; ... ;  (n + 1)! + n;  (n + 1)! + n + 1.

Warto dodać iż wynika z tego, że istnieje każdy dowolnie długi ciąg kolejnych liczb naturalnych, z których żadna nie jest pierwsza.

Kacper Żurek

Inne rozwiązanie zostało umieszczone także w 58. wydaniu Świata Matematyki.
Zapraszamy do zapoznania się z nim.