(40) Fibonacci w ułamku
RE(40-1)
RE(40-2)
RE(40-3) Granna





KPM_01
paypal

przeszukaj serwisSZUKAJ W SERWISIE

 Zapraszamy do nowego 40. numeru Świata Matematyki, który powinien być dostępny w sprzedaży od wtorku (25. 10. 2016r.). Tutaj znajdziesz opis zawartości numeru.

Zakończył się nasz kolejny konkurs - „KONKURS NA DOWÓD” - dla miłośników matematycznych. Czas wakacji okazał się doskonałym odpoczynkiem dla umysłu, gdyż otrzymaliśmy mnóstwo odpowiedzi, jednakże możemy nagrodzić tylko najwybitniejsze umysły. W szczególności Pana Konrada Małkińskiego, którego sposób rozwiązania publikujemy w 40. numerze czasopisma .
Ciekawe nagrody rzeczowe wysyłamy do pozostałych laureatów, a należą do nich:
1. Robert C. - Osiek Jasielski
2. Łukasz K. - Dobrzeń Wielki
3. Sabina R. - Olsztyn
4. Tomasz C. - Osiek Jasielski
5. Tomasz W. - Ruda Śląska

W zakładce Rozwiązania zadań znajdziesz pełne rozwiązania zadań do samodzielnego rozwiązania z numerów 38. i 39 "Świata matematyki". Zainteresowanych zapraszamy do analizy tych rozwiązań.

Zapraszamy do rozwiązania zadania KONKURS Fibinacci w ułamku zamieszczony na stronie Świata Matematyki. Uczestnicy, którzy przyślą prawidłowe odpowiedzi otrzymają niesamowite nagrody. Termin nadsyłania rozwiązań mija 15 grudnia 2016 r.

Zainteresowanym konkursem życzymy powodzenia.

Tutaj znajdziesz opis mnożenia obrazkowego nauczany w szkołach japońskich.

 



LIczba pi powraca

 

Dane jest pewne koło o promieniu 1, w które wpisano dwa wielokąty foremne, jak na poniższym rysunku.

a – długość boku wielokąta foremnego o n bokach

x – długość boku wielokąta foremnego o 2n bokach.

Powyższe wielkości można powiązać wzorem:

 

Wzór ten wyprowadził w III wieku naszej ery chiński matematyk Liu Hui. Pozwoliło mu to wyprowadzić iteracyjne wzory przydatne do obliczania liczby .

Więcej na temat obliczania liczby  przez chińskiego matematyka Liu Hui dowiesz się z artykułu zamieszczonego w 41. nr Świata Matematyki, który powinien ukazać się 10 grudnia.

 

Kilka ciekawych cech podzielności znajdziesz w artykuleCiekawe cechy podzielności. 

Wszystkich zainteresowanych zapraszamy do przeczytania artykułu Wyjątkowa liczba, poświęconego historii liczby pi.

 


Wszystkich zainteresowanych zapraszamy do rozwiązywania ciekawych zadań matematycznych
 prezentowanych na naszej stronie. Raz w tygodniu, a może częściej, dodajemy nowe. Na tej stronie są sukcesywnie umieszczane ich rozwiązania.



Definicja liczb naturalnych.

W podręcznikach szkolnych, trudno jest znaleźć ścisłą matematyczną definicję liczb naturalnych. A jednak każde dziecko wie co to są liczby naturalne,  bo właśnie od liczb naturalnych rozpoczyna się poznawanie matematyki i naukę liczenia. Liczby naturalne to 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., 17, ..., 117, ..., 1177, ..., 111111117, ... itd. Można wymieniać je bez końca, bo jest ich nieskończenie wiele (ponieważ w matematyce istnieją różne nieskończoności, mówimy dokładniej, że jest ich przeliczalnie wiele).

Na pytanie: co to są liczby naturalne i jak je rozpoznać? uczeń najczęściej słyszy odpowiedź, że są to liczby, które mogą służyć do:  liczenia lub numerowania obiektów.
Liczby naturalne pełnią więc dwie funkcje:
--  mówią, ile elementów jest w danym zbiorze (tzn. określają liczności zbiorów skończonych),
--  mówią, który jest dany element w ciągu (tzn. określają porządek w zbiorach skończonych i przeliczalnych).

Zbiór liczb naturalnych oznaczamy literą N.

Następnym, bardzo często pojawiającym się pytaniem jest:
Czy zero jest liczbą naturalną?
Wśród matematyków nie ma jednoznacznej umowy, czy zero jest liczbą naturalną, czy nie. Czasem wygodnie jest definiować liczby naturalne z zerem, a innym razem bez zera.
Nasuwa się więc pytanie:

Czy istnieje formalna definicja zbioru liczb naturalnych?
W matematyce niemal wszystkie pojęcia muszą być precyzyjnie zdefiniowane, chyba, że są to tak zwane pojęcia pierwotne. Dlatego istnieją też bardziej formalne definicje liczb naturalnych.
Przedstawimy tu dwie z nich.

Definicja indukcyjna.
Zbiór liczb naturalnych to najmniejszy (w sensie relacji zawierania) zbiór liczbowy spełniający następujące warunki:
--  jeden należy do tego zbioru,
--  jeżeli n należy do tego zbioru, to należy do niego również n+1.
Innymi słowy liczby naturalne są częścią wspólną wszystkich zbiorów liczbowych spełniających oba powyższe warunki.







Najbardziej precyzyjną definicję zbioru liczb naturalnych podał włoski matematyk Giuseppe Peano (1858 – 1932).
Zdefiniował on zbiór liczb naturalnych za pomocą pięciu aksjomatów. Oto one:

1.  Jeden jest liczbą naturalną.

2. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to n+1 też jest liczbą naturalną.
Inaczej mówiąc – każda liczba naturalna ma swój następnik, który też jest liczbą naturalną.

3.  Jeżeli n jest liczbą naturalną, to n+1 nie jest jedynką.
Oznacza to, że 1 jest najmniejszą liczbą naturalną. Nie poprzedza ją żadna inna liczba naturalna.
4.  Jeżeli n i m są liczbami naturalnymi oraz n+1 = m+1, to n = m.
Czyli, dwie różne liczby naturalne mają różne następniki.

5.  Jeżeli 1 ma daną własność i następnik dowolnej liczby naturalnej ma tę własność, to każda liczba naturalna ma tę własność.

Ten ostatni aksjomat znany jest w matematyce pod nazwą zasada indukcji matematycznej. Po niewielkim przeredagowaniu służy matematykom jako wygodne narzędzie do dowodzenia twierdzeń o ciągach.
 

Drobne ciekawostki matematyczne

 

Techniki szybkiego mnożenia na wybranych przykładach

 

Rosyjski matematyk Jakow Trachtenberg (1888 – 1953) podjął próbę opracowania technik szybkiego mnożenia liczb. Chociaż, pozornie, jego metody liczenia wyglądają bardzo skomplikowanie, to naszym zdaniem, ich opanowanie powinno znacznie ułatwić rachunki, zwłaszcza wtedy, gdy chcemy coś policzyć w pamięci.

Nie będziemy wprowadzać całej opracowanej przez Trachtenberg’a teorii, a tylko skupimy się na kilku najprostszych przykładach.

Zacznijmy od kilku umów, które uproszczą wprowadzane algorytmy.

1. Czynnik nazywany przez nas mnożną będziemy poprzedzali 0. Zamiast pisać 1956, będziemy pisać 01956. Oczywiście, 0 stojące po lewej stronie liczby jest cyfrą nieznaczącą w liczbie.

2. Cyfrę stojącą bezpośrednio na prawo od cyfry, którą w danej chwili mnożymy, będziemy nazywali jej sąsiadem. Przykład: w liczbie 02016 sąsiadem cyfry 2 jest cyfra 0; sąsiadem cyfry 1 jest cyfra 6. Umówmy się, że sąsiadem cyfry stojącej w rzędzie jedności jest zawsze 0.

3. Zmienną p(x) zdefiniowaną poniżej będziemy nazywali połową liczby

 

 

Przykład: połową liczby 6 jest 3, a połową liczby 9 jest 4.


Po tych umowach możemy przejść do konkretnych przykładów


Technika mnożenia przez 3
1. Wartość cyfry z rzędu jedności odejmujemy od 10. Pozostałe wartości cyfr znaczących odejmujemy od 9.
2. Tak otrzymane różnice mnożymy przez 2 i dodajemy połowę sąsiada. W przypadku gdy mnożona aktualnie cyfra jest nieparzysta nasz wynik powiększamy jeszcze o 5.
3. Mnożąc 0 nieznaczące, od jego połowy sąsiada odejmujemy 2


Prześledź poniższy algorytm na konkretnym przykładzie.

Tu znajdziesz dalsze przykłady technik mnożenia.

 

 

- Jak się nazywa strzałka o długości około 3,1415926536 jednostki?

- Piszczałka!

 

Grzesiu wraca ze szkoły i od progu woła:

- Mamo! Dzisiaj na matematyce tylko ja odpowiedziałem na pytanie!

- A o co pani pytała?

- Kto nie odrobił lekcji.

 

- Janku, ile będzie musiał zapłacić twój ojciec, skoro jest winien gospodarzowi 200 zł, sprzedawcy w sklepie 84 zł i szewcowi 35 zł?

- Nic! panie profesorze, bo przeprowadziliśmy się gdzieś indziej.

 

Tata pyta Jasia:

- Poprawiłeś dziś jedynkę z matematyki?

- Nie, bo pani miała dziennik cały czas przy sobie.

 

Nauczyciel zwraca klasówki w pewnej wyjątkowo tępej klasie.

- Muszę z przykrością stwierdzić, że 45% z was nie ma najmniejszego pojęcia o matematyce.

Na to jeden z uczniów:

- Przepraszam pan psorze! Tylu to nas nawet nie ma w tej klasie

 

 





PARTNERZY
alter edukacja
Test IQ
oferty pracy nauczyciel
spinor's


©2004 made and hosted by mediacom