Geometria Platona

O konstrukcjach geometrycznych pisaliśmy już w artykule „Konstrukcje matematyczne” w 48. numerze „Świata Matematyki”. Skupiliśmy się wtedy na konstrukcjach wykonywanych samym cyrklem – bez użycia linijki. Teraz zapraszamy do tworzenia klasycznych konstrukcji geometrycznych, za ojca których uważany jest Platon,  żyjący na przełomie V i IV wieku przed naszą erą. To on narzucił zasady wykonywania konstrukcji geometrycznych, które są przestrzegane praktycznie do dzisiaj. Zgodnie z tymi zasadami klasyczne konstrukcje geometryczne (zwane też konstrukcjami platońskimi), należy wykonywać tylko i wyłącznie za pomocą cyrkla i linijki.

Dla przypomnienia cyrklem nazywamy przyrząd, za pomocą którego można kreślić okręgi o zadanym środku i promieniu. Długość promienia równa jest odległości między dwoma zadanymi punktami. Linijka to jednostronny przyrząd służący do kreślenia prostych przechodzących przez dwa zadane punkty. W przeciwieństwie do dzisiejszych linijek, platońska nie posiadała podziałki, więc nie było możliwe wykonywanie nią pomiarów. Ponieważ do kreślenia służyła tylko jedna strona linijki, więc niemożliwe było wykreślenie prostych równoległych, stosując do tego celu obie krawędzie linijki.

Prócz narzucenia dozwolonych przyborów do wykonywania konstrukcji, Platon wymienił też dozwolone czynności, które można wykonać w trakcie konstrukcji. Oto one:

1. wybranie na płaszczyźnie dowolnego punktu (lub punktów);
2. wykreślenie okręgu o wskazanym środku w wybranym punkcie i promieniu równym odległości między dwoma wskazanymi punktami;
3. wykreślenie prostej przechodzącej przez dwa wybrane punkty;
4. wskazanie punktów wspólnych dla:
   a) dwóch wykreślonych okręgów,
   b) dwóch wykreślonych prostych,
   c) wykreślonej prostej i wykreślonego okręgu.
Odpowiednia kombinacja tych czterech czynności daje w efekcie rozwiązanie zadania konstrukcyjnego.

Platon w zasadzie nie był matematykiem – był raczej filozofem – jednak w jego poglądach filozoficznych, pojmowaniu otaczającego go świata kluczową rolę odgrywała matematyka – głównie geometria. Nad bramą wejściową założonej przez siebie akademii umieścił nawet napis, że wstęp do akademii mają tylko ci, którym nieobca jest wiedza z geometrii.
Platon uważał, że okrąg i prosta to dwie najbardziej doskonałe figury, więc za ich pomocą można otrzymać wszystko, co w matematyce, i nie tylko, jest najważniejsze. Ponieważ konstrukcje geometryczne to głównie kreślenie prostych i okręgów, więc zgodnie z filozoficznymi poglądami Platona powinien to być najlepszy, zawsze skuteczny, sposób rozwiązywania problemów matematycznych.

Do tych najpoważniejszych problemów, które chcieli rozwiązać starożytni Grecy, przy pomocy prostej i okręgu, jeszcze wrócimy. Zacznijmy jednak od klasycznych konstrukcji elementarnych.

>>powrót