Liczby towarzyskie

I. Definicja i przykłady Skończoną grupę liczb nazywamy grupą liczb towarzyskich, gdy tworzą one cykl liczb o następującej własności: suma wszystkich dzielników właściwych pierwszej liczby jest równa drugiej liczbie; suma wszystkich właściwych dzielników drugiej liczby jest równa trzeciej liczbie i tak dalej, aż do n-tej liczby, której suma wszystkich dzielników właściwych jest równa pierwszej liczbie. Ilość liczb towarzyskich w grupie nazywa się rzędem liczb towarzyskich.

Przykładem liczby towarzyskiej pierwszego rzędu jest liczba 6. Przyjmijmy następujące oznaczenie:

Dn – Zbiór dzielników liczby n.

Wówczas D6 = {1; 2; 3} i 1+2+3=6.

Takie liczby, których suma jej wszystkich właściwych dzielników jest równa tej liczbie nazywamy liczbami doskonałymi. Inaczej – liczby doskonałe, to liczby towarzyskie pierwszego rzędu.

Przykładem liczb towarzyskich drugiego rzędu jest para 220 i 284. D220={1; 2; 4; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 55; 110} i 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 oraz D284={1; 2; 4; 71; 142} i 1+2+4+71+142=220

Liczby towarzyskie drugiego rzędu nazywamy liczbami zaprzyjaźnionymi.

Jak do tej pory, nie są znane liczby towarzyskie rzędu trzeciego.

Przykładem liczb towarzyskich rzędu czwartego jest zbiór liczb {1264460; 1547860; 1727636; 1305184}

D1264460={1; 2; 4; 5; 10; 17; 20; 34; 68; 85; 170; 340; 3719; 7438;  14876; 18595; 37190; 63223; 74380; 126446; 252892; 316115; 632230} i 1+2+4+5+10+17+20+34+68+85+170+340+3719+7438+

+14876+18595+37190+63223+74380+126446+252892+

+316115+632230=1547860

oraz D1547860={1; 2; 4; 5; 10; 20; 193; 386; 401; 772; 802; 965; 1604;  1930;  2005;  3860;  4010;  8020; 77393; 154786; 309572;  386965;  773930} i 1+2+4+5+10+20+193+386+401+772+802+965+1604+

+1930+2005+3860+4010+8020+77393+154786+309572+

+386965+773930=1727636

oraz D1727636={1; 2; 4; 521; 829; 1042; 1658; 2084; 3316; 431909;  863818} i 1+2+4+521+829+1042+1658+2084+3316+431909+863818= =1305184

oraz  D1305184={1; 2; 4; 8; 16; 32; 40787; 81574; 163148; 326296; 652592} i 1+2+4+8+16+32+40787+81574+163148+326296+652592= =1264460.

Pierwszą taką sekwencję liczb znalazł belgijski matematyk Paul Poulet (1887 – 1946) w roku 1918 i to on nazwał taki łańcuch liczbami towarzyskimi.

II. Liczby doskonałe. Liczby doskonałe to takie, których suma wszystkich dzielników właściwych jest równa tej liczbie.

 Najmniejsze liczby doskonałe to 6 i 28.

6; bo D6={1; 2;3} i 1+2+3=6 28; bo D28={1; 2; 4; 7; 14} i 1+2+4+7+14=28

 
III. Liczby zaprzyjaźnione. Dwie liczby nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy suma dzielników właściwych jednej z nich jest równa drugiej i na odwrót.
Pierwszą parę liczb zaprzyjaźnionych podał Pitagoras. Jest to para 220 i 284. (Uzasadnienie: patrz wyżej).
Do dnia dzisiejszego znanych jest około miliard takich par.
Ciekawostką może być fakt, że liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowali się ci sami matematycy, którzy poszukiwali liczb pierwszych.