Reklama LONPOS - SM51
Reklama ALEXANDER - SM51
KONKURS sm51





KPM_01
paypal

przeszukaj serwisSZUKAJ W SERWISIE

Liczby towarzyskie

I. Definicja i przykłady Skończoną grupę liczb nazywamy grupą liczb towarzyskich, gdy tworzą one cykl liczb o następującej własności: suma wszystkich dzielników właściwych pierwszej liczby jest równa drugiej liczbie; suma wszystkich właściwych dzielników drugiej liczby jest równa trzeciej liczbie i tak dalej, aż do n-tej liczby, której suma wszystkich dzielników właściwych jest równa pierwszej liczbie. Ilość liczb towarzyskich w grupie nazywa się rzędem liczb towarzyskich.

Przykładem liczby towarzyskiej pierwszego rzędu jest liczba 6. Przyjmijmy następujące oznaczenie:

Dn – Zbiór dzielników liczby n.

Wówczas D6 = {1; 2; 3} i 1+2+3=6.

Takie liczby, których suma jej wszystkich właściwych dzielników jest równa tej liczbie nazywamy liczbami doskonałymi. Inaczej – liczby doskonałe, to liczby towarzyskie pierwszego rzędu.

Przykładem liczb towarzyskich drugiego rzędu jest para 220 i 284. D220={1; 2; 4; 5; 10; 11; 20; 22; 44; 55; 110} i 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284 oraz D284={1; 2; 4; 71; 142} i 1+2+4+71+142=220

Liczby towarzyskie drugiego rzędu nazywamy liczbami zaprzyjaźnionymi.

Jak do tej pory, nie są znane liczby towarzyskie rzędu trzeciego.

Przykładem liczb towarzyskich rzędu czwartego jest zbiór liczb {1264460; 1547860; 1727636; 1305184}

D1264460={1; 2; 4; 5; 10; 17; 20; 34; 68; 85; 170; 340; 3719; 7438;  14876; 18595; 37190; 63223; 74380; 126446; 252892; 316115; 632230} i 1+2+4+5+10+17+20+34+68+85+170+340+3719+7438+

+14876+18595+37190+63223+74380+126446+252892+

+316115+632230=1547860

oraz D1547860={1; 2; 4; 5; 10; 20; 193; 386; 401; 772; 802; 965; 1604;  1930;  2005;  3860;  4010;  8020; 77393; 154786; 309572;  386965;  773930} i 1+2+4+5+10+20+193+386+401+772+802+965+1604+

+1930+2005+3860+4010+8020+77393+154786+309572+

+386965+773930=1727636

oraz D1727636={1; 2; 4; 521; 829; 1042; 1658; 2084; 3316; 431909;  863818} i 1+2+4+521+829+1042+1658+2084+3316+431909+863818= =1305184

oraz  D1305184={1; 2; 4; 8; 16; 32; 40787; 81574; 163148; 326296; 652592} i 1+2+4+8+16+32+40787+81574+163148+326296+652592= =1264460.

Pierwszą taką sekwencję liczb znalazł belgijski matematyk Paul Poulet (1887 – 1946) w roku 1918 i to on nazwał taki łańcuch liczbami towarzyskimi.

II. Liczby doskonałe. Liczby doskonałe to takie, których suma wszystkich dzielników właściwych jest równa tej liczbie.

 Najmniejsze liczby doskonałe to 6 i 28.

6; bo D6={1; 2;3} i 1+2+3=6 28; bo D28={1; 2; 4; 7; 14} i 1+2+4+7+14=28

III. Liczby zaprzyjaźnione. Dwie liczby nazywamy zaprzyjaźnionymi, gdy suma dzielników właściwych jednej z nich jest równa drugiej i na odwrót.
Pierwszą parę liczb zaprzyjaźnionych podał Pitagoras. Jest to para 220 i 284. (Uzasadnienie: patrz wyżej).
Do dnia dzisiejszego znanych jest około miliard takich par.
Ciekawostką może być fakt, że liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowali się ci sami matematycy, którzy poszukiwali liczb pierwszych.
 





OMatKo
PARTNERZY
alter edukacja
Test IQ
oferty pracy nauczyciel
Piatnik
spinor's


©2004 made and hosted by mediacom