MATEMATYKA W ŚWIECIE ARABSKIM

(VIII – XV wiek)

Rozwój nauki w świecie arabskim związany jest z ekspansją islamu, która nastąpiła w okresie od powrotu do Mekki z wygnania Mahometa w 630 r. ne do podbicia ziem sięgających od Hiszpanii do granic Chin w 715 r. ne. Tuż potem muzułmanie zaczęli przejmować wiedzę okupowanych krajów, jak na przykład wiedzę astronomiczną i matematyczną z Indii i Persji.

Główna praca znanego indyjskiego matematyka Brahmagupta: Brahma-sphuta-siddhanta (628 r. ne) została wtedy przetłumaczone na język arabski. Zawiera ona, jak na owe czasy, niezwykle nowoczesne idee, jak np.: rola zera w matematyce, reguły stosowania dodatnich i ujemnych liczb, metody obliczania pierwiastków kwadratowych, metody rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych i sposoby sumowania ciągów. Praca została napisana w całości wierszem.

Transfer greckiej wiedzy matematycznej znacznie wzrósł po wybudowaniu biblioteki i ośrodka tłumaczeń i rozwoju, zwany Domem Mądrości (po arabsku:بيت الحكمة‎; Bait al-Hikma) w Abbassid-era Baghdad, Irak. Instytucja ta była głównym intelektualnym centrum w okresie Złotego Wieku Islamu. Ufundowany został przez Harun al-Rashid‘a pochodzący z dynastii Abbasids, a budowę kontynuował jego syn al.-Ma’mun (813 – 833 r. ne). Mamun sprowadził też wielu uczonych, którzy wykładali w Domu Mądrości w Bagdadzie od IX do XIII wieku. Tłumaczenia z greki wykonywali chrześcijańscy erudyci, których wspierali muzułmańscy mecenasi, jak na przykład bogaci muzułmanie oraz sam kalif. Przetłumaczono w tym okresie wiele prac greckich autorów.

Z prac Euklidesa przetłumaczono Elementy, Optykę, Data, Fenomena oraz O Podziałach. Z prac Archimedesa przetłumaczono O Kuli i Walcu oraz O Figurach Obrotowych. Ponadto,wszystkieprace Apolloniusza, Almagest oraz Planisphaerium Ptolomeusza (astronomia) oraz po jednym dziele Diofantusa i Menelaus’a – Arithmetica oraz Sphaerica, odpowiednio. Prace te przyczyniły się i zainicjowały rozwój własnych niezależnych badań od IX do XV wieku.

W IX w. ne działali w Persji słynni trzej bracia Banū Mūsā. Znani są ze swojego dzieła Księga Automatycznych i Mechanicznych Urządzeń, w którym opisano ponad 100 wynalazków. Braciom udostępniono bibliotekę w Domu Mądrości. Zajmowali się matematyką i astronomią. Opisywali elipsy i stożki oraz poprawnie obliczyli obwód Ziemi. Najbardziej znani są z opracowania pierwszych automatów, działających w postaci zabawek oraz urządzeń rozrywkowych. Opracowali pierwsze jedno- oraz dwu-kierunkowe zawory zdolne samodzielnie otwierać i zamykać się, mechaniczne wspomnienia, urządzenia działające na zasadzie sprzężenia zwrotnego oraz przekaźniki. Większość ich urządzeń jako napęd wykorzystywała ciśnienie wodne. To właśnie wtedy trzej bracia o nazwisku Banū Mūsā, mieszkający w Bagdadzie, skonstruowali pierwszy znany, mechaniczny instrument muzyczny, czyli organy napędzane energią wodną. Jednak historia potrzebowała jeszcze pięciuset lat, aby „wydać na świat” urządzenie zbliżone do obecnego. Po tak długim czasie pewien flandryjski dzwonnik wynalazł mechanizm złożony z wałka opatrzonego zębami, uderzającymi w umieszczone obok dzwonki. Oni wynaleźli też pozytywkę, ówcześnie zwaną magicznym pudełkiem.

 Thabit ibn Qurrah (836–901), z północnej Mezopotamii, był znanym tłumaczem dzieł matematyków greckich dla braci Banū Mūsā, i innych. Był nadwornym fizykiem. Odkrył piękną regułę dla liczb zaprzyjaźnionych. (Liczby zaprzyjaźnione to para liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników).Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ: 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284); 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)). Badanie takich liczb było tradycją w Islamie. Na przykład Kamāl al-Dīn al-Fārisī (zmarł 1320 r.) podał parę liczb 17926 oraz 18416 spełniających regułę Thābit’a

Innym znanym uczonym arabskim był Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi. Działając w Domu Mądrości napisał Księgę Dodawania i Odejmowania czerpiąc materiał z matematyki  indyjskiej. Księga ta przyczyniła się do rozwoju ułamków dziesiętnych, wraz z notacją dziesiętną i przecinkiem dziesiętnym. W innej pracy, „Księga Przywracania Równowagi” (Book of Restoring and Balancing) opisał algebrę, włącznie z teorią równań kwadratowych.

W księdze tej po raz pierwszy użyto słowo „algebra” (oryg.: al.-jabr), co znaczy przywracanie/odbudowa oraz stamtąd pochodzi słowo algorytm, przetłumaczone z arabskiego na łaciński jako algorismi Obie księgi w całości później przetłumaczono na łacinę.

W X wieku islamscy badacze opracowali trzy kompletne systemy liczbowe. Jeden z nich to system arytmetyczny liczony na palcach, szeroko używany przez pisarzy, skrybów i urzędników skarbowych. Ten starożytny system, stosowany również później w Europie, angażował arytmetykę pamięciową oraz system przechowywania pośrednich wartości na palcach jako wsparcie dla pamięci. Stosowany tu system ułamkowy opary był o system używany w starożytnym Egipcie.

Drugi system liczbowy oparty był na liczbie sześćdziesiąt, przejęty został od Babilończyków. Przez Greków znany był jako arytmetyka astronomów. W przypadku bardziej skomplikowanych obliczeń, astronomowie przekształcali liczby na system dziesiątkowy, a następnie odpowiedź z powrotem zapisywali w systemie sześć dziesiątkowym.

Trzeci system oparty był o arytmetykę indyjską, która zawierała już zero jako liczbę. Podstawowe algorytmy, zamiast na pyłowej tablicy, spisane zostały przez al-Uqlīdisī (c. 950) na papierze, co znacznie ułatwiło rozpowszechnienie się tego systemu. Zapoczątkowano tu procedury wyciągania pierwiastków stopnia wyższego od trzeciego.

Omar Khayyam (1048–1131) rozwiązał generalny problem wyciągania pierwiastka dowolnego stopnia. Grecy i Hindusi badali równania nieoznaczone i przetłumaczenie tej wiedzy umożliwiło dalsze badanie równań diofantycznych oraz wielkiego twierdzenia Fermata, mówiące, że nie ma wymiernego rozwiązania dla równania x³+y³=z³.

Wielki uczony Ibn al.-Haytham (965–1040) rozwiązywał problemy oparte o kongruencje, m.in. dzisiejsze twierdzenie Wilsona z teorii liczb, które mówi, że p > 1 jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy (p – 1)! + 1 jest podzielna przez p.

Również w tym czasie w świecie arabskim gwałtownie rozwijała się geometria. Thābit ibn Qurrah, jego wnuk Ibrāhīm ibn Sinān (909–946), Abū Sahl al-Kūhī (zmarł 995), oraz Ibn al-Haytham rozwiązywali problemy związane z przekrojami stożkowymi i badali optyczne własności luster. Thābit and Ibrāhīm opracowali krzywizny potrzebne w budowie zegarów słonecznych. Opracowano wtedy twierdzenia dotyczące geometrii sferycznej oraz reguły dotyczące sinusów i tangensów. Al-Biruni (973–1048) zastosował te nowe prawa w astronomii, matematyce i geografii wyznaczając południki i równoleżniki.

Jednym z najbardziej znanych arabskich matematyków był Omar Khayyam. Opracował metody wyciągania pierwiastków dowolnie wysokiego stopnia i podał metody rozwiązywania równań sześciennych.

Z kolei Sharaf al-Dīn wynalazł urządzenie, zwane astrolabium. Jego matematyczna zasada działania oparta jest o stereograficzne rzuty kuli, co umożliwiło stworzenie mapy hemisfery. Astrolabium jest to pomiarowy przyrząd astronomiczny używany w nawigacji do początku XVIII wieku do wyznaczania położenia ciał niebieskich nad horyzontem, poprzednik sekstantu. Astrolabium używał m.in. Mikołaj Kopernik. Jako pierwsi stosowali je żeglarze arabscy od VIII wieku. W Europie pojawił się dopiero w XIV wieku.

Muzułmańscy astronomowie opracowali też wysoce dokładne tablice trygonometryczne. Islamscy matematycy ponadto, podali pierwsze prawidłowe matematyczne wyjaśnienie zjawiska tęczy na niebie oraz obliczyli wartość 2π w dziesiętnych ułamkach z dokładnością do 16 miejsca po przecinku.

Islamska matematyczna tradycja udostępniła Europie kompletny zestaw algorytmów dla indyjsko-arabskiej arytmetyki, sferycznej trygonometrii i trygonometrii na płaszczyźnie oraz mocne narzędzie w postaci algebry.

Po XV wieku środek ciężkości rozwoju matematyki przesunął się ku Europie.