Reklama PWN - SM49
Reklama ALEXANDER - SM49





KPM_01
paypal

przeszukaj serwisSZUKAJ W SERWISIE

 

Rzadko spotykane pojęcia związane z liczbami

 

Zdarza się, że nasze dzieci przynoszą ze szkoły do domu zadania, w których występują nieznane nam pojęcia matematyczne. Aby ułatwić zrozumienie takich mało znanych pojęć matematycznych zamieszczamy krótki słowniczek.

Zacznijmy od pojęcia dzielnika liczby. Liczba, która bez reszty dzieli inną liczbę nazywa się dzielnikiem tej liczby. Na przykład dzielnikiem liczby 10 jest liczba 5. Dzielnikami liczby 10 są także liczby 1; 2 i 10.

W    wielu  pojęciach    związanych    z    liczbami,    ważną   rolę  odgry- wa   ilość   dzielników.   Z  poprzedniego  przykładu  wiemy już,  że: 

- liczba 10 ma cztery dzielniki.  

- liczba 12 ma 6 dzielników. Dzieli się przez wszystkie liczby z następującego zbioru – {1; 2; 3; 4; 6; 12}.

- liczba 5 ma tylko 2 dzielniki, dzieli się tylko przez 1 i przez 5.

Podobnie dwa dzielniki ma liczba 31, która dzieli się tylko przez 1 i 31.

Liczby, które mają dokładnie dwa różne dzielniki, to liczby pierwsze. Potocznie, często się mówi, że liczba pierwsza, to taka, która tylko się dzieli przez 1 i samą siebie. Tak więc podane powyżej liczby 5 i 31 to liczby pierwsze. Jedyną parzystą liczbą pierwszą jest liczba 2.

Liczby, które mają więcej niż dwa różne dzielniki nazywamy liczbami złożonymi.

Wymienione, już w tym artykule liczby: 6; 10 i 12, to oczywiście przykłady liczb złożonych. Każdą   liczbę   złożoną   można   przedstawić   w   postaci iloczynu   liczb   pierwszych,   co   w matematyce nazywa się rozłożeniem liczby złożonej na iloczyn liczb pierwszych.

Warto zapamiętać, że liczba 1 nie jest ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną, bo ma tylko jeden dzielnik. Dzieli się tylko przez 1.

Podobnie, ani liczbą pierwszą, ani liczbą złożoną nie jest liczba 0. Ta z kolei ma nieskończenie wiele dzielników. (Liczba 0 da się podzielić przez każdą liczbę). Jednak przez 0 nie dzieli się żadna liczba.

Parę liczb pierwszych różniącą się o 2 nazywamy liczbami bliźniaczymi.

Przykładem pary bliźniaków liczbowych jest para 5 i 7.

Dwie liczby nazywamy liczbami względnie pierwszymi, gdy ich jedynym wspólnym dzielnikiem  jest  liczba  1.  Względnie pierwszymi jest na przykład para liczb 9 i 4, chociaż ani 9 ani 4 nie jest liczbą pierwszą.

Liczby 14 i 7 nie stanowią pary liczb względnie pierwszych, chociaż liczba 7 jest liczbą pierwszą. Obie można przecież podzielić przez 7.

O liczbie naturalnej a mówimy, że jest liczbą doskonałą, gdy suma jej wszystkich dzielników właściwych  (bez  liczby  a) jest  równa  tej  liczbie. 

Przykładami  liczb doskonałych są liczby: 6 i 28, bo: dzielnikami liczby 6 są 1; 2; 3 i 6 i 1+2+3=6

Dzielnikami liczby 28 są 1; 2; 4; 7; 14 i 28 i 1+2+4+7+14=28.

Liczbę, dla których suma jej wszystkich dzielników właściwych jest mniejsza od tej liczby nazywamy  liczbą  ubogą.

Przykładami  liczb  ubogich  są: 

- 10, która dzieli się przez 1; 2; 5 i 10 i 1+2+5=8;

- 15, która dzieli się przez 1; 3; 5; 15 i 1+3+5=9.

Są też takie liczby, dla których suma wszystkich dzielników właściwych jest większa od tej liczby, jak na przykład liczba 12, która dzieli się przez 1; 2; 3; 4; 6 i 12, a 1+2+3+4+6=16. Takie liczby nazywamy liczbami bogatymi.

Parę liczb a i b nazywamy liczbami zaprzyjaźnionymi, gdy suma wszystkich dzielników właściwych liczby a jest równa liczbie b, a  suma  wszystkich właściwych dzielników liczby b jest równa a.

Przykładem pary liczb zaprzyjaźnionych są liczby: 220 i 284. Niech D220 oznacza zbiór wszystkich dzielników liczby 220, a D284 – zbiór wszystkich dzielników liczby 284. W takim razie: D220= {1; 2; 4; 5; 11; 20; 22; 44; 55; 110; 220} i 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,
a D284= {1; 2; 4; 71; 142; 284} i 1+2+4+71+142=220. Ten przykład liczb zaprzyjaźnionych podał sam Pitagoras.

Z trzech koralików można ułożyć trójkąt. Podobnie trójkąt można ułożyć z 6; 10; 15; 21 itd. koralików. Popatrz na rysunek.

Dlatego też liczby 1; 3; 6; 10; 15 itd. nazywa się liczbami trójkątnymi.

Podobnie, liczby 1; 4; 9; 16; 25 nazywamy liczbami kwadratowymi. Popatrz na poniższy rysunek.

  

 

O liczbie mówimy, że jest liczbą szczęśliwą, gdy proces kolejnego dodawania kwadratów cyfr ją tworzących prowadzi do 1.

Oto kilka początkowych liczb szczęśliwych: 1; 7; 10; 13; 19; 23; 28; 31; 32; 44; …

Dla przykładu, sprawdźmy, że szczęśliwa jest liczba 7

   

 

Liczba 22 nie jest liczbą szczęśliwą bo

  

 

W tym momencie proces się zapętla, co dowodzi, że nigdy nie osiągniemy jedynki.

Liczba 200 jest przykładem liczby pozapierwszej, to znaczy takiej, która nie jest liczbą pierwszą, a ponad to zmiana w liczbie 200 tylko jednej cyfry na inną zawsze będzie prowadzić do liczby złożonej.

Liczba podłużna, to taka, która jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych.

Przykładem liczby podłużnej jest liczba 30 bo 30 = 5 * 6 .

Liczby praktyczne, to takie liczby naturalne, dla których wszystkie liczby naturalne od niej mniejsze dadzą się zapisać jako suma dzielników tej liczby.

Liczbą praktyczną jest na przykład liczba 20.  D20 = {1; 2; 4; 5; 10; 20}. Liczbami naturalnymi mniejszymi od 20 są: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18 i 19.

1 jest dzielnikiem liczby 20;  2 jest dzielnikiem liczby 20;

3=1+2;                               4 jest dzielnikiem liczby 20;

5 jest dzielnikiem liczby 20;   6=1+5;

7=2+5;                                8=1+2+5;

9=4+5;                                10 jest dzielnikiem liczby 20;

11=1+10;                            12=2+10;

13=1+2+10;                        14=4+10;

15+5+10;                            16=1+5+10;

17=2+5+10;                        18=1+2+5+10;

19=4+5+10.

15 nie jest liczbą praktyczną, bo żadna z liczb: 2; 7; 10; 11; 12; 13; 14 nie da się zapisać jako suma dzielników liczby 15.

Liczby Leylanda,  to  liczby  postaci   X = nm + mn. Przykładem  liczby  Leylanda  jest  100,  bo 100 = 26 + 62 .

Liczba Nivena, to liczba podzielna przez sumę swoich cyfr. Liczbą Nivena jest chociażby liczba 111 bo dzieli się przez 3.

Liczba palindrom, to taka, która ma tę samą wartość niezależnie od tego, czy czytamy ją od strony lewej do prawej, czy od prawej do lewej.

Palindromem jest na przykład liczba 132231.

Liczby  Fermata,  to  liczby należące  do  ciągu Fn, gdzie Fn = 22^k + 1 dla k będącego liczbą naturalną różną od 0. 

Oto początkowe liczby Fermata: F0 = 3; F1 = 5; F2 = 17; F3 = 257; ...

Fermat twierdził, że wszystkie liczby tej postaci są liczbami pierwszymi. Jednak Euler dowiódł, że liczba F5 = 4294967297 jest liczbą złożoną, bo dzieli się przez 641.

Liczby Mersenne’a, to liczby postaci: 2p-1; gdzie p jest liczbą pierwszą.

Przykładami liczb Mersenne’a są:

3 – dla p=2;  7 – dla p=3;  31 – dla p=5;  127 – dla p=7.

Mersenne, podobnie jak Fermat twierdził, że wszystkie jego liczby są liczbami pierwszymi. Okazuje się jednak, że dla p=11 otrzymamy liczbę 2047, która jest liczbą złożoną, dzieli się bowiem przez 23.

Na zakończenie powiemy jeszcze o binarnym kodowaniu liczb, czyli zapisie liczb za pomocą samych  zer  i  jedynek.  Zacznijmy od kilku przykładów:

1 to binarnie też 1;          2 to binarnie 10;          3 to 11;

4 to 100;                        5 to 101;                     6 to 110;

7 to 111;                        8 to 1000;                   9 to 1001;

10 to 1010; …

Jest wiele sposobów kodowania liczb do zapisu binarnego. Najprościej będzie rozpocząć kodowanie od obliczenia sobie kolejnych potęg liczby 2

20=1;     21=2;    22=4;    23 = 8;      24=16;      25=32;    26=64; 

27=128;   28=256;   29=512;   210=1024;   211=2048;   212=4096;

213=8192;  214=16384;  215=32768;  216=65536;  217=131072; ...

Z  pomocą tej  listy  zakodujmy   binarnie   liczbę   2018.   Na  początek,  wśród   potęg   liczby   2 szukamy największej liczby, która jest jeszcze mniejsza od liczby kodowanej. W naszym przypadku jest to liczba 1024

2018–1024=994

Teraz szukamy wśród potęg największej liczby, która jest mniejsza od 994. Tą liczbą jest 512. Znowu dokonujemy odejmowania

994–512=482

Dalej postępujemy podobnie jak poprzednio, wybierając liczbę 256

482–256=226

226–128=98

98–64=34

34–32=2

I wreszcie

2–2=0

Możemy więc zapisać:

2018=1024+512+256+128+64+32+2=210+29+28+27+26+25+21

Ponieważ najwyższa występująca w tej sumie potęga dwójki, to 10, więc zapis binarny liczby 2018 będzie miał 11 znaków (zawsze o jeden więcej niż stopień najwyższej potęgi). Przygotujmy sobie więc tabelkę:
 

 
Do komórek o numerach zgodnych z występującymi w sumie potęgami wpisujemy 1
 


Pozostałe komórki wypełniamy zerami.
 

 
Ostatecznie możemy zapisać, że 2018, to binarnie 11111100010.

Aby rozkodować liczbę zapisaną binarnie wykonujemy te same czynności lecz w odwrotnej kolejności.

Rozkodujmy liczbę 11110100100.

Po wpisaniu do tabelki mamy
 

 
Wynika z tego, że szukana liczba n

n=210+29+28+27+25+22=1024+512+256+128+32+4=1956

Liczba anielska – liczba, której kod binarny ma nieparzystą liczbę jedynek. Liczba 2018 zapisana w kodzie binarnym ma 7 jedynek (patrz powyższy przykład) więc jest liczbą anielską.

Liczba 1956 nie jest liczbą anielską.

Liczba potężna – jest wtedy, gdy spełniony jest następujący warunek:

N jest liczbą potężną, gdy z warunku, że liczba pierwsza p dzieli liczbę N wynika, że p2 też dzieli liczbę N.

Przykładem liczby potężnej jest 100. Zauważmy, że liczbami pierwszymi, przez które dzieli się 100 jest 2 i 5. Liczba 100 dzieli się także przez 4 i 25.

20 nie jest liczbą potężną, bo dzieli się przez 5, ale nie dzieli się przez 25.





PARTNERZY
alter edukacja
Test IQ
oferty pracy nauczyciel
Piatnik
spinor's


©2004 made and hosted by mediacom