Wielościany Platona

Na początek przypomnijmy sobie niektóre dobrze Wam znane fakty z geometrii na płaszczyźnie. Dużo miejsca na lekcjach matematyki zajmuje nauka o figurach geometrycznych. Mówimy o trójkątach, czworokątach i wielu innych wielokątach, np. wielokątach foremnych. Dla przypomnienia wielokąt foremny to taki, który ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary. Oczywiście wielokątów foremnych jest nieskończenie wiele. Jednak najczęściej celebrowanymi wielokątami foremnymi są: trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny. Z nauki szkolnej znamy też wiele własności typowych wielokątów foremnych. Oto niektóre z nich.

• Każdy n-kąt foremny można podzielić na n trójkątów równoramiennych do siebie przystających – mających ten sam kształt i wielkość. Oznacza to, że trójkąt równoboczny można podzielić na trzy trójkąty równoramienne; kwadrat na cztery trójkąty równoramienne; sześciokąt na sześć trójkątów równoramiennych i tak dalej.
• Na każdym wielokącie foremnym można opisać okrąg, to znaczy narysować taki okrąg, że wszystkie wierzchołki tego wielokąta leżą na tym okręgu.
• W każdy wielokąt foremny można wpisać okrąg, czyli narysować taki okrąg, który w całości „mieści się” wewnątrz tego wielokąta i „dotyka” wszystkich jego boków.
• Każdy wielokąt foremny jest figurą symetryczną i posiada tyle osi symetrii, ile ma boków.

Odpowiednikiem wielokąta foremnego w przestrzeni trójwymiarowej jest wielościan platoński, nazywany także wielościanem foremnym.

Wielościan Platoński (bryła platońska) to taka bryła, której wszystkie ściany są przystającymi (identycznymi) do siebie wielokątami foremnymi, a każdy wierzchołek tej bryły jest wierzchołkiem wspólnym dla tej samej liczby ścian – w każdym wierzchołku bryły spotyka się taką samą liczbą wierzchołków ścian wielościanu.

Na lekcjach matematyki bardzo dużo mówi się tylko o dwóch bryłach, które należą do rodziny wielościanów platońskich. Jedną z tych brył jest sześcian, którego wszystkie sześć ścian to kwadraty. Każdy wierzchołek jest wspólny dla trzech ścian
i każda krawędź jest wspólna dla dwóch kwadratowych ścian sześcianu. Drugą bryłą platońską znaną z lekcji matematyki jest czworościan prawidłowy, czyli bryła, która ma cztery ściany będące trójkątami równobocznymi. Każdy wierzchołek czworościanu prawidłowego jest wspólnym wierzchołkiem trzech ścian i każda krawędź jest wspólnym bokiem dwóch ścian.

Nasuwa się więc pytanie, czy te dwa omówione powyżej wielościany wyczerpują listę wielościanów platońskich, czy są też jeszcze inne i ile ich jest? Na te właśnie pytanie spróbujemy sobie odpowiedzieć.

Świat Matematyki nr 31 (3/2014)