Rozwiązanie zadania "Zamiana pozycji cyfr"

Dla potrzeb rozwiązania szukaną liczbę a możemy zapisać jako

Wówczas warunek z zadania można zapisać następująco:

Gdzie n jest jedną z liczb: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Liczby x; y i k wszystkie są liczbami całkowitymi, dobranymi tak, by dla każdego n spełniony był warunek:

A ponad to, by x było możliwie najmniejsze.
Przekształćmy powyższe równanie:

Z ostatniego równania będziemy się starać wyznaczać x i y dla każdego n.
Zaczynamy od n=2.

Ponieważ mianownik jest dwucyfrowy musimy wykonać dzielenie po stronie prawej.

Na początek zauważmy, że liczba

 będzie miała postać

Ponieważ nie znamy k, załóżmy, że wynosi ono 20. Jeżeli będzie za duże to część 9 będziemy mogli obciąć. Zatem wykonujemy dzielenie:

W tym momencie przerwiemy dzielenie. Zauważmy, że w ostatnim segmencie wystarczyło spisać 8 zamiast 9 by dzielenie się skończyło. W takim razie, wykreślimy 4 końcowe dziewiątki
Zatem mamy

Gdyby przyjąć, że

Szukaną liczbą, była by liczba 52631578947368421.
Jednak

Co nie jest zgodne z warunkami zadania.
Przyjmijmy więc, że y=2 . Wówczas

A szukana liczba, to 105263157894736842 , bo

Zatem dla n=2, k=17.
Z uwagi na żmudne i długie rachunki, dla n=3, podamy tylko odpowiedź:
Szukana liczba, to 1034482758620689655172413793, k=27.
Policzmy jeszcze liczbę a dla n =4
Zacznijmy od wyprowadzonego na początku równania:

Czyli

Zauważmy, że 39=3*13 . Mamy więc

Podzielmy więc

Ponieważ nie znamy k, przyjmijmy roboczo, że k =10. Wówczas

Jak poprzednio, aby zakończyć dzielenie, wystarczy w ostatnim segmencie zamiast cyfry 9 spisać cyfrę 6. Mamy więc

Ponieważ ułamek po prawej stronie jest skracalny, więc go skróćmy:

Aby otrzymać a, pomnożymy otrzymaną liczbę przez 4 i dopiszemy z prawej strony 4

2564*4=10256.

Więc

a=102564, k=5

n=5

Dla n=5 nasze równanie ma postać:

Ponieważ 49=7*7 , naszą równość ułamków możemy zapisać

Nie znamy k, więc załóżmy, że k=10. Otrzymujemy wtedy:

Wykonajmy teraz dzielenie 99999999995:7

W tym momencie przerywamy dzielenie. Zauważmy, że podstawienie w ostatnim segmencie cyfry 5 zamiast cyfry 9 zakończyło by dzielenie.
Mamy więc:

Oznacza, to, że x=14285; y=7; a szukana liczba a=142857, bo

142857*5=714285.

Czyli, dla n=5, a=142857; a k=4.
Dla pozostałych przypadków podamy tylko gotowe wyniki, obliczenia pozostawiajac czytelnikowi:
n=6
a=1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966; k=57
n=7
a=1014492753623188405797 i k=22
n=8
a=1012658227848 i k=12
n=9
a=10112359550561797752808998764044943820224719 i k=44