Systemy liczenia
Powszechnie posługujemy się dziesiętnym systemem liczenia i zazwyczaj w tym systemie wykonywane są obliczenia. Jednak w niektórych przypadkach zmiana systemu liczenia okazuje się bardzo pomocna.
Zanim przejdziemy do zadania „problem straganiarza”, rozwiążmy najpierw zadanie dla czytelników „Tajemnicze tablice”, przedstawione w 36. numerze Świata Matematyki. Dla ułatwienia, przedstawimy fragment zadania „Tajemnicze tablice”. * * * Jesteśmy już tak przyzwyczajeni do naszego zapisu liczb i sposobu liczenia, że nawet nie zdajemy sobie sprawy z tego, że system ten nazywamy dziesiętnym. Dlaczego właśnie wybrano system dziesiętny, a nie jakiś inny - trudno odpowiedzieć. Być może jest to związane z ilością palców obydwu dłoni. Jednak w dawnych latach były narody, które zapisywały liczby i liczyły w innych systemach niż dziesiętny - Majowie do zapisu liczb stosowali systemu dwudziestkowego a Fenicjanie liczyli w systemie sześćdziesiątkowym. Pozostałości po tym ostatnim systemie można jeszcze spotkać do dziś w rachubie czasu – godzina to 60 minut; minuta to 60 sekund - czy mierzeniu kątów w stopniach. Około 40 lat temu jajka w sklepach kupowało się w tuzinach lub na kopy. To też było związane z sześćdziesiątkowym systemem liczenia. Rozwój informatyki spowodował, że ludzie zaczęli sięgać po system binarny (dwójkowy). O tym i o innych zastosowaniach systemów niedziesiętnych dowiesz się z artykułu „Systemy liczenia”.
Przenieśmy się jeszcze w czasie i przestrzeni o jakieś 150 lat do ówczesnej Rosji, i podpatrzmy jak rosyjscy chłopi wykonywali mnożenie. Pomnóżmy na przykład ich metodą
Rosyjscy chłopi obydwa czynniki zapisywali obok siebie, tworząc dwie kolumny - pierwszą kolumnę pod pierwszym czynnikiem, a drugą kolumnę pod drugim czynnikiem. Do pierwszej kolumny wpisywali liczby, które powstawały z pomnożenia stojącej powyżej liczby przez 2, a w drugiej kolumnie każda następna liczba powstawała z dzielenia z resztą poprzedniej liczby przez 2, przy czym resztę odrzucano. Proces kończył się w momencie, gdy w drugiej kolumnie pojawiała się liczba 1. Popatrz poniżej:
456 123
912 61
1824 30
3648 15
7296 7
14592 3
29184 1
Następnie sumowano te liczby z pierwszej kolumny, które w drugiej kolumnie miały liczbę nieparzystą. W naszym przykładzie są to liczby: 456; 912; 3648; 7296; 14592 i 29184.
456 + 912 + 3648 + 7296 + 14592 + 29184 = 56088
Aby przekonać się, że metoda ta, jest poprawna popatrzmy na poniższe rachunki:
|
