Marian Maciocha

Uzasadnienie wzoru  n! = n!! * (n – 1)!!  dla n ≥ 1

Zauważmy, że dla dowolnej (dodatniej) liczby naturalnej n zachodzi jeden z pięciu następujących przypadków:

Przypadek pierwszy: n = 1.
Przypadek drugi: n = 2.
Przypadek trzeci: n = 3.
Przypadek czwarty: n jest naturalną liczbą parzystą większą lub równą 4.
Przypadek piąty: n jest naturalną liczbą nieparzystą większą lub równą 5.

Dlatego chcąc sprawdzić, czy dla dowolnej (dodatniej) liczby naturalnej n zachodzi tożsamość  n! = n!! * (n – 1)!!  wystarczy sprawdzić, że w każdym z powyższych pięciu przypadkach prawdziwa jest równość  n! = n!! * (n – 1)!!

Przypadek pierwszy: n = 1.

Dla n = 1 mamy:
n! = 1! = 1
n!! * (n – 1)!! = 1!! * (1 – 1)!! = 1!! * 0!! = 1 * 1 = 1.
Zatem n! = n!! * (n – 1)!!

Przypadek drugi: n = 2.

Dla n = 2 mamy:
n! = 2! = 2 * 1! = 2 * 1 = 2
n!! * (n – 1)!! = 2!! * (2 – 1)!! = 2!! * 1!! = 2 * (2 – 2)!! * 1!! = 2 * 0!! * 1!! =
 =2 * 1 * 1 = 2
Zatem n! = n!! * (n – 1)!!

Przypadek trzeci: n = 3.

Dla n = 3 mamy:
n! = 3! = 3 * 2! = 3 * 2 * 1! = 6
n!! * (n – 1)!! = 3!! * (3 – 1)!! = 3!! * 2!! = 3 * (3 – 2)!! * 2 * (2 – 2)!! =
= 3 * 1!! * 2 * 0!! = 3 * 1 * 2 * 1 = 6
Zatem n! = n!! * (n – 1)!!

Przypadek czwarty: n jest naturalną liczbą parzystą większą lub równą 4.

Jeśli n jest naturalną liczbą parzystą większą lub równą 4, to n!! jest równa iloczynowi liczby 1 i wszystkich (dodatnich) parzystych liczb naturalnych nie większych niż n.
Jeśli n jest naturalną liczbą parzystą większą lub równą 4, to liczba (n – 1) jest liczbą nieparzystą większą lub równą 3. Jeśli n jest naturalną liczbą nieparzystą większą od 1, to n!! jest równa iloczynowi  wszystkich nieparzystych liczb naturalnych nie większych niż n.
Zatem n!! * (n – 1)!! jest iloczynem wszystkich (dodatnich) liczb naturalnych nie większych od n, czyli n!! * (n – 1)!! = n!

Przypadek piąty: n jest liczbą nieparzystą większą lub równą 5.

Jeśli n jest naturalną liczbą nieparzystą większą lub równą 5, to n!! jest iloczynem wszystkich nieparzystych liczb naturalnych nie większych od n.
Jeśli n jest naturalną liczbą nieparzystą większą lub równą 5, to liczba (n – 1) jest liczbą parzystą większą lub równą 4. Jeśli n jest naturalną liczbą parzystą większą lub równą 4, to podwójna silnia liczby n jest równa iloczynowi wszystkich (dodatnich) parzystych liczb naturalnych nie większych niż n.
Zatem n!! * (n – 1)!! jest iloczynem wszystkich (dodatnich) liczb naturalnych nie większych od n, czyli n!! * (n – 1)!! = n!

Wniosek:
Ponieważ w każdym z powyższych pięciu przypadkach zachodzi równość  
n! = n!! * (n – 1)!!  to tożsamość  n! = n!! * (n – 1)!!  jest prawdziwa dla każdej (dodatniej) liczby naturalnej n.