MATEMATYKA MAJÓW

   Hernán Cortés 18 lutego 1519 r. popłynął z Hiszpanii w kierunku półwyspu Yucatán. Jego armada liczyła 11 okrętów, 508 żołnierzy, 100 żeglarzy i 16 koni. Wylądował w pobliżu Tabasco na północnym wybrzeżu półwyspu Jukatan. Napotkał niewielki opór miejscowej ludności, od której przjął liczne prezenty, włącznie z 20 kobietami. Ożenił się z jedną z nich, imieniem Malinche, która później odegrała rolę tłumacza dla Cortésa w czasie jego podbojów.
Mieszkańcy Jukatanu byli potomkami starożytnej cywilizacji Majów, która zaczęła chylić się ku upadkowi od ok. 900 r. n.e. Następnie Cortés podbił cywilizację Azteków, znajdującą się na terenie dzisiejszego Meksyku. Zdobył Tenochtitlán w 1519 r.(miasto to zostało odbudowane pod nazwą Meksyk w 1521 r.). Imperium Azteków poddało się Cortésowi ostatecznie w 1521 r.
   Aby zrozumieć, jak wiedza Majów dotarła do nas, musimy poznać jeszcze jednego Hiszpana – Diego de Landa, który wstąpił do zakonu franciszkanów w 1541 r. w wieku 17 lat. Domagał się, aby go wysłano do Nowego Świata jako misjonarza. Landa pomagał Majom na Jukatanie i starał się jak mógł, aby ochronić ich przed nowymi hiszpańskimi władcami. Jednakże, pomimo życzliwości dla Majów, czuł odrazę dla ich religijnych praktyk. Dla oddanego chrześcijanina, jakim był Landa, religia Majów ze swoimi piktogramami i wizerunkami oraz hieroglifami, wydawała się dziełem diabła. Nakazał zniszczenie wszystkich bożków Majów oraz spalenie ich ksiąg. Landa był zdziwiony tym, jak bardzo zmartwiło to Majów. Żałował później swoich czynów i próbował je usprawiedliwić w książce „Relación de las cos as de  Yucatán” (1566 r.). Opisał hieroglify, obyczaje, świątynie, praktyki religijne oraz historię Majów. Książkę tę odnaleziono dopiero w 1869 r.

Kodeks Drezdeński

   Najbardziej interesujący dla nas jest okres klasyczny Majów, czyli od 250 do 900 r. n.e., z tym że cywilizacja ta początek swój bierze od ok. roku 2000 r.  p.n.e. Majowie w tym okresie zbudowali duże miasta – ok. 15 ich odkryto na półwyspie Jukatan. Miasto Tikál liczyło aż 50 tys. mieszkańców, 3 tys. samodzielnych budynków, włącznie z pałacami, świątyniami, grobami świętych, domami, tarasami, groblami, placami i olbrzymimi zbiornikami do przechowywania wody deszczowej. Władcami byli kapłani astronomowie, którzy kontrolowali ludność dzięki religijnym rytuałom. Rolnictwo, wraz z rozbudowanymi systemami irygacyjnymi, stało na wysokim poziomie.
   Ważną rolę w społeczeństwie odgrywała astronomia i kalendarze, które wymagały znajomości matematyki. I rzeczywiście, Majowie opracowali bardzo wyrafinowany system liczbowy. Na owe czasy był to najbardziej zaawansowany system na całym świecie.
   Pozycyjny system liczbowy Majów oparty był na systemie dwudziestkowym. Powstał najpewniej dlatego, że posługiwali się oni przy liczeniu palcami rąk oraz nóg. Mimo że był to system dwudziestkowy, widać jednak, jak ważną rolę odgrywała liczba 5. Warto zauważyć, że system ten ma tylko trzy symbole liczbowe (prawdopodobnie w czasie liczenia symbol jedności stanowił kamyk, symbol liniowy był patykiem, a zero muszlą).

   Pozycyjny system liczbowy Majów był systemem dwudziestkowym. Nasz system dziesiętny dzieli się na pozycje: 1, 10, 100, 1000, 10000 itd., a system Majów na pozycje: 1, 20, 400, 8000, 16000 itd. W systemie dziesiętnym istnieje dziesięć możliwych cyfr dla każdej pozycji liczbowej [0 – 9]; w systemie Majów istnieje ich 20 [0-19]. Np. w systemie dziesiętnym
31 = 10 x 3 + 1, natomiast u Majów 31 = 20 + 11. Majowie odkryli i używali liczby zero.

   Liczby w tym systemie mogą być pisane pionowo lub poziomo. W zapisie pionowym linie leżą poziomo, a kropki są stawiane nad nimi. W tym przypadku dwudziestkowe pozycje rosną od bazy w górę. W zapisie  poziomym linie są położone pionowo, a kropki stawiane są po lewej stronie; tutaj pozycje dwudziestkowe rosną na lewo od pierwszego zapisu.
   Jednakże system niniejszy nie był pozycyjnym systemem liczbowym w ścisłym tego słowa znaczeniu. W systemie dwudziestkowym pierwsza cyfra wskazywałaby ilość jednostek do 19, następna wskazywałaby ilość dwudziestek aż do 19, następna ilość 400 aż do 19 itd. System Majów rozpoczyna się w ten sposób z jednostkami do 19 oraz dwudziestkami do 19, jednak zmiana następuje na trzecim miejscu i tu wskazywana jest liczba 360 do 19 zamiast 400. Potem system powraca do normalnych wielokrotności dwudziestek, tak więc na czwartym miejscu jest liczba 18 x 20², następna liczba to 19 x 20³ itd. Na przykład [8; 14; 3; 1; 12] odpowiada:

12 + 1 x 20 + 3 x 18 x 20 + 14 x 18 x 20² + 8 x 18 x 20³ = 1253912.

   Jako drugi przykład [9; 8; 9; 13; 0] odpowiada:

0 + 13 x 20 + 9 x 18 x 20 + 8 x 18 x 20² + 9 x 18 x 20³ = 1357100

 
   Drugi był państwowym kalendarzem składającym się z 365 dni, zwanym Haab. Zawierał 18 długich miesięcy z nazwami wydarzeń religijnych i rolniczych oraz jeszcze jednen krótki, pięciodniowy „miesiąc” zwany Wayeb. Każdy długi miesiąc składał się z 20 dni (też ponumerowane od 0 do 19). Wayeb był uważany za nieszczęśliwy okres. W tym czasie Majowie nie myli się, nie czesali i nie wykonywali żadnej ciężkiej pracy. Urodzeni w tym okresie mieli mieć pecha w życiu i pozostawać biedni i nieszczęśliwi przez całe życie.
   Dlaczego kalendarz rytualny został oparty na okresie 260 dni? Nie ma satysfakcjonującej odpowiedzi na to pytanie. Jedni sugerują, że Majowie żyli  w strefie tropikalnej i słońce znajdowało się na niebie bezpośrednio nad nimi dwa razy w roku. Być może mierzyli 260 oraz 105 dni jako kolejne okresy pomiędzy najwyższymi położeniami słońca na niebie (jest to prawda dla półwyspu Yucatán). Inna teoria mówi, że Majowie mieli 13 bogów ze „świata wyższego”, a liczba 20 była liczbą symbolizującego człowieka, tak więc dzięki przydzieleniu każdemu bogowi 20-dniowego miesiąca otrzymujemy kalendarz rytualny z 260 dniami.
   Mając dwa kalendarze, jeden z 260 dniami i drugi z 365 dniami, można obliczyć, że oba powrócą do tego samego cyklu po (260, 365) = 18980 dniach. Nastąpi to po 52 państwowych latach lub 73 rytualnych latach, i rzeczywiście Majowie mieli święty cykl składający się z 52 lat. Drugą ważną rolę w kalendarzu odgrywała planeta Wenus. Astronomowie Majów obliczyli jej okres synodyczny (po którym wraca ona do tego samego położenia na niebie) równy 584 dni. Po tylko dwóch cyklach 52-letnich Wenus wykona 65 obrotów i będzie też znajdowała się w tym samym położeniu. Ta niezwykła zbieżność była powodem do wielkich uroczystości urządzanych co 104 lata.
   Istniała również trzecia metoda mierzenia czasu przez Majów, niebędąca jednakże kalendarzem w ścisłym słowa tego znaczeniu. Była to skala czasowa oparta na mniemanej dacie stworzenia świata i czas mierzony był od tego momentu. Data ta to 12 sierpnia 3113 roku p.n.e., choć nie wszyscy uczeni zgadzają się, że ta właśnie data rozpoczęła tzw. długie odliczanie.
   Można byłoby się spodziewać, że ta metoda mierzenia czasu powinna odmierzyć nam liczbę lat kalendarzy rytualnych lub państwowych. Niestety, nie zachodzi taka prawidłowość. „Długie odliczanie” jest oparte na okresie 360 dni lub bardziej precyzyjnie - na liczbach istniejących w numerycznym systemie Majów. Widzimy tu prawdopodobną przyczynę odstępstwa przez nich od ścisłego systemu dwudziestkowego. System ten w  przybliżeniu reprezentował lata. Wiele napisów znaleziono w miastach Majów, które opisywały daty ich założenia; oparte były na tym systemie liczbowym. Rozważmy dwa poprzednio wymienione przykłady liczbowe.

Pierwszy przykład:
jest datą wyrytą na kamiennej płycie  w mieście Tikal. Można to napisać jako:

12 + 1 x 20 + 3 x 18 x 20 + 14 x 18 x 20² + 8 x 18 x 20³;

co stanowi 1253912 dni od daty stworzenia świata, czyli 12 sierpnia 3113 p.n.e. Tak więc napis został wyryty w 320 r. n.e.

Drugi przykład:
[9; 8; 9; 13; 0]  jest datą ukończenia budynku w Palenque w Tabasco, w pobliżu miejsca przybycia Cortésa. Można to napisać jako:

0 + 13 x 20 + 9 x 18 x 20 + 8 x 18 x 20² + 9 x 18 x 20³;

co stanowi 1357100 dni od daty stworzenia świata, czyli 12 sierpnia 3113 p.n.e. Tak więc napis został wyryty w 603 r. n.e.

   Warto zauważyć niektóre właściwości (lub ściślej mówiąc - niewłaściwości) liczbowego systemu Majów. Majowie nie posługiwali się ułamkami, jednakże dokonywali bardzo precyzyjnych pomiarów astronomicznych. Ponadto system Majów nie był pełnym systemem dwudziestkowym i nie miał eleganckich matematycznych właściwości, których powinniśmy się spodziewać po systemie pozycyjnym. Na przykład:

[9; 8; 9; 13; 0] = 0 + 13 x 20 + 9 x 18 x 20 +
+ 8 x 18 x 20² + 9 x 18 x 20³ = 1357100;

jednakże

[9; 8; 9; 13] = 13 + 9 x 20 + 8 x 18 x 20 + 9 x 18 x 20² = 67873.

   Przesuwając wszystkie liczby o jedno miejsce w lewo, pomnożyłoby liczbę przez 20 w prawdziwym dwudziestkowym systemie pozycyjnym, jednakże 20 x 67873 = 1357460, co nie równa się 1357100. Kiedy pomnożymy [9; 8; 9; 13] przez 20, otrzymujemy 9 x 400, natomiast w [9; 8; 9; 13; 0] mamy 9 x 360.

   Majowie nie posiadali metody mnożenia i dzielenia liczb, jednakże ich system liczbowy pozwalał na wykonywanie tych operacji.

W Palenque w Tabasco obliczyli, że 81 miesięcy księżycowych trwa 2392 dni. Daje to wynik 29,5308 dni jako długość miesiąca księżycowego. Dzisiejsza rzeczywista wartość wynosi 29,53059. Czyż to nie było niezwykłym osiągnięciem?

JJ O'Connor, EF Robertson