Liczenie na palcach

Chciałem nawiązać do lektury artykułów „Ręczna trygonometria” i „Starożytne (po)rachunki" z poprzednich wydań Świata Matematyki.

Dlaczego starożytne? Było to w czasach „niemal starożytnych” (w 1963 roku!). Jako uczeń liceum, miałem sąsiada Jurka - ucznia szkoły podstawowej (nie pamiętam, do której klasy uczęszczał). Miałem pomóc Jurkowi w matematyce, czyli np. sprawdzić, czy zna tabliczkę mnożenia. Wtedy jeszcze nie wiedziałem, że to ja miałem się czegoś nauczyć z matematyki od Jurka, a nie Jurek ode mnie.

Jurek odpowiadał prawidłowo na wszystkie pytania - chociaż nie natychmiast. Nie korzystał z suwaka logarytmicznego czy kalkulatora (to był rok 1963). Z mnożeniem radził sobie doskonale. Wyjaśnił mi, jak dochodził do rozwiązania.

W rachunkach wykorzystał do obliczeń palce obu rąk, którym były nadane wartości. Kciuk symbolizował cyfrę 6, palec wskazujący - cyfrę 7, palec środkowy - cyfrę 8, palec serdeczny - cyfrę 9, a palec mały - liczbę 10 (Piotrkowi dziękuję za rysunki).
 

Podczas prowadzenia rachunków dłonie należy ułożyć poziomo (wewnętrzną stroną dłoni do góry) tak, aby:

1) dotknąć koniuszki palców obydwu dłoni o wartościach zadanych liczb (wartości
    na palcach mają odpowiadać wartościom czynników);

2) policzyć ilość palców znajdujących się bliżej ciała (łącznie z palcami, które się stykają)
    i pomnożyć ich ilość przez 10;

3) pomnożyć przez siebie liczby pozostałych palców jednej i drugiej dłoni, położonych
   dalej od ciała niż stykające się palce – mnożenie dwóch czynników mniejszych od 5
    powinno być proste;

4) dodać do siebie wartości obydwu iloczynów (pkt. 2 i 3);

Wyliczona suma jest  szukanym iloczynem liczb o wartościach od 6 do 10.

PRZYKŁADY

Na początek przedstawię, jak wygląda mnożenie liczb 7*8. Poniżej ułożenie dłoni (opisane wyżej).
 

 
7*8 = (2+3)*10+3*2 = 50+6 = 56 (można to łatwo sprawdzić w pamięci).

Poprawność tego algorytmu dowodzimy dla iloczynów dwóch liczb m i n z przedziału {6, 7, 8, 9, 10}:

(m-5+n-5)*10 +(10-m)*(10-n) =  (m+n -10)*10 + (10-m)*(10-n) =

= (m+n-10)*10-10m-10n+100+m*n = 10m+10n-100-10m-10n+100+mn = mn

Sprawdźmy jeszcze dla dwóch innych przykładów z tabliczki mnożenia:

6*6 = (6-5+6-5)*10+(10-6)*(10-6) = 2*10+4*4=20+16 = 36

7*6 = (7-5+6-5)*10+(10-7)*(10-6) = 3*10+3*4 = 30+12 = 42

Zapraszam do dalszych obliczeń.

* * *

Muszę jednak uzupełnić moją wypowiedź. Podana przeze mnie tożsamość:

m*n = (m-5+n-5)*10 +(10-m)*(10-n)

OBOWIĄZUJE (OCZYWIŚCIE) RÓWNIEŻ DLA LICZB CAŁKOWITYCH m, n WIĘKSZYCH OD 10. MOŻNA JĄ ZASTOSOWAĆ do szybszego obliczania w pamięci iloczynów dwóch liczb naturalnych większych od dziesięciu. Stanowi ona sporą pomoc dla chcących szybko liczyć w pamięci! Jest w niej jedno proste dodawanie i jedno proste mnożenie liczb naturalnych mniejszych od liczb wyjściowych.

Na przykład:

11*11 = (11+11-10)*10 +(10-11)(10-11) = 120+(-1)*(-1) = 121,

12*12 = (12+12- 10)*10 +(10-12)*(10-12) = 14*10+(-2)*(-2) = 144,

....

15*15 = (15+15-10)*10+(15-10)*(15-10) = 225,

17*18 = (17+18-10)*10+(10-17)*(10-18) = 250+56 = 306,

27*28 = (27+28-10)*10 +(10-27)*(10-28) = 450+306 = 756.

Teraz można znów wykorzystać wyjściową tożsamość:

(m-5+n-5)*10 +(10-m)*(10-n) = (m+n -10)*10 + (10-m)*(10-n) =
= (m+n-10)*10-10m-10n+100+m*n = 10m+10n-100-10m-10n+100 +mn = mn

i zmodyfikować ją do jeszcze bardziej ogólnej postaci:

(m-a+n-a)*2a+(2a-m)*(2a-n) = (m+n-2a)*2a+(2a-m)*(2a-n) =
= 2a*(m+n)-4a²+4a²–2a*(m+n)+m*n = m*n,

gdzie a jest liczbą naturalną.

Na przykład gdy a=6, dla iloczynu 15*15 mamy:

(30-12)*12+(15-12)*(15-12)=18*12+9=216+9=225;

a dla iloczynu 17*18 mamy:

17*18=(17+18-12)*12+(12-17)*(12-18)=23*12+30=276+30=306

oraz dla 27*28 otrzymujemy:

27*28=(27+28-12)*12 +(12-27)*(12-28)=
=(55-12)*12+15*16=43*12+240=516+240=756

Andrzej Bauer