|
|
Ciekawe cechy podzielności |
|
Cecha podzielności przez 7 |
|
Jeśli liczba n = 10a + b i a - 2b jest podzielne przez 7, to n też jest podzielne przez 7 |
|
Z warunku, że a - 2b jest podzielne przez 7, wynika, że istnieje takie k całkowite, że a - 2b = 7k. Wówczas, a = 7k + 2b. n = 10a + b = 10(7k + 2b) + b = 70k + 20b + b = 70k + 21b = 7(10k + 3b). Ponieważ jednym z czynników iloczynu stojącego po prawej stronie jest liczba 7, więc cały iloczyn dzieli się przez 7. Kończy to, oczywiście dowód naszego warunku, bo z równości n = 7(10k + 3b), bezpośrednio wynika podzielność liczby n przez 7. |
|
Sprawdźmy, czy liczba 19565 jest podzielna przez 7? |
|
Ponieważ 19565 = 10 * 1956 + 5, więc a = 1956 i b = 5. Sprawdzamy, czy a - 2b = 1956 - 2 * 5 jest podzielne przez 7. 1956 - 2 * 5 = 1956 - 10 = 1946. Możliwe, że niektórzy z czytelników, wiedzą, czy liczba 1946 jest podzielna przez 7. My jednak nie wiemy. Sprawdzamy, więc, czy 1946 jest podzielna przez 7. Podobnie jak poprzednio 1946 = 10 * 194 + 6, a więc teraz a = 194, a b = 6. Powtarzamy poprzednią procedurę: a - 2b = 194 - 2 * 6 = 194 - 12 = 182. Sprawdźmy, więc, czy 182 jest podzielne przez 7. 182 = 18 * 10 + 2, czyli a = 18; b = 2. 18 - 2 * 2 = 18 - 4 = 14. Ponieważ 14 jest podzielne przez 7, więc przez 7 jest podzielne 182. Ponieważ 182 jest podzielne przez 7, więc jest też podzielne przez 7 liczba 1946. Z podzielności 1946, wynika podzielność przez 7 liczby 19565.
Odpowiedź:
Liczba 19565 jest podzielna przez 7. |
|
Cecha podzielności przez 11
|
|
Jeśli liczba n = 10a + b i a - b jest podzielne przez 11, to n też jest podzielne przez 11
|
|
Z warunku, że a - b jest podzielne przez 11, wynika, że istnieje takie k całkowite, że a - b = 11k. Wówczas, a = 11k + b. n = 10a + b = 10(11k + b) + b = 110k + 10b + b = 110k + 11b = 11(10k + b). Ponieważ jednym z czynników iloczynu stojącego po prawej stronie jest liczba 11, więc cały iloczyn dzieli się przez 11. Kończy to, oczywiście dowód naszego warunku, bo z równości n = 11(10k + b), bezpośrednio wynika podzielność liczby n przez 11. |
|
Sprawdźmy, czy liczba 19569 jest podzielna przez 11?
|
|
Ponieważ 19569 = 10 * 1956 + 9, więc a = 1956 i b = 9. Sprawdzamy, czy a - b = 1956 - 9 jest podzielne przez 11. 1956 - 9 = 1947. Sprawdzamy, więc, czy 1947 jest podzielna przez 11. Podobnie jak poprzednio 1947 = 10 * 194 + 7, a więc teraz a = 194, a b = 7. Powtarzamy poprzednią procedurę: a - b = 194 - 7 = 187. Sprawdźmy, więc, czy 187 jest podzielne przez11. 187 = 18 * 10 + 7, czyli a = 18; b = 7. 18 - 7 = 11. Ponieważ 11 jest podzielne przez 11, więc przez 11 jest podzielne 187. Ponieważ 187 jest podzielne przez 11, więc jest też podzielna przez 11 liczba 1947. Z podzielności przez 11 liczby 1947, wynika podzielność przez 11 liczby 19569.
Odpowiedź:
Liczba 19569 jest podzielna przez 11. |
|
Cecha podzielności przez 13
|
|
Jeśli liczba n = 10a + b i a + 4b jest podzielne przez 13, to n też jest podzielne przez 13
|
|
Z warunku, że a + 4b jest podzielne przez 13, wynika, że istnieje takie k całkowite, że a + 4b = 13k. Wówczas, a = 13k - 4b. n = 10a + b = 10(13k - 4b) + b = 130k - 40b + b = 130k - 39b = 13(10k - 3b). Ponieważ jednym z czynników iloczynu stojącego po prawej stronie jest liczba 13, więc cały iloczyn dzieli się przez 13. Kończy to, oczywiście dowód naszego warunku, bo z równości n = 13(10k - 3b), bezpośrednio wynika podzielność liczby n przez 13. |
|
Sprawdźmy, czy liczba 19565 jest podzielna przez 13?
|
|
Ponieważ 19565 = 10 * 1956 + 5, więc a = 1956 i b = 5. Sprawdzamy, czy a + 4b = 1956 + 20 jest podzielne przez 13. 1956 + 20 = 1976. Sprawdzamy, więc, czy 1976 jest podzielna przez 13. Podobnie jak poprzednio 1976 = 10 * 197 + 6, a więc teraz a = 197, a b = 6. Powtarzamy poprzednią procedurę: a + 4b = 197 + 24 = 221. Sprawdźmy, więc, czy 221 jest podzielne przez13. 221 = 22 * 10 + 1, czyli a = 22; b = 1. 22 + 4 = 26. Ponieważ 26 jest podzielne przez 13, więc przez 13 jest podzielne 221. Ponieważ 221 jest podzielne przez 13, więc jest też podzielna przez 13 liczba 1976. Z podzielności przez 13 liczby 1976, wynika podzielność przez 13 liczby 19565.
Odpowiedź:
Liczba 19565 jest podzielna przez 13. |
|
|
|
|