(45) CIEKAWOSTKI MATEMATYCZNE
(45) SUPER FARMAR GRANNA





KPM_01
paypal

przeszukaj serwisSZUKAJ W SERWISIE

Rozwiązanie zadania "TAJEMNICZE SUMY"

 

Należy tak dobrać w pary litery A; B; C; D; E; F; G; H i I z cyframi 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 i 9 by prawdziwa była następująca suma: ABC+DEF=GHI i tak by
a) liczba GHI była najmniejsza z możliwych;
b) liczba GHI była największa z możliwych.
Ponieważ 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 i 45 jest podzielne przez 9, więc ABC+DEF+GHI jest podzielne przez 9. Z uwagi na to, że ABC+DEF=GHI mamy
ABC+DEF+GHI=GHI+GHI=2*GHI
Wynika z tego, że GHI jest podzielne przez 9.
a) Ponieważ G=A+D, więc G nie może być mniejsze od 3.

Załóżmy więc, że G=3. Wówczas A=1 i D=2. Przy G=3 pod GHI może ukrywać się jedna z następujących liczb: 369; 378; 387 i 396.
Gdyby GHI było liczbą 369 lub 396, to cyframi B; C; E i F mogły by być cyfry: 4; 5; 7 i 8.
Wyjściowe równanie można by zapisać następująco:
ABC+DEF=369 lub ABC+DEF=396, ale ABC+DEF=100(A+D)+10(B+E)+(C+F).
Czyli 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=369, lub 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=396. Zgodnie z początkowym założeniem  A+D=3 więc 10(B+E)+(C+F)=69 lub 10(B+E)+(C+F)=96. Z pierwszego równania wynikają następujące dwa równania:
C+F=9 i B+E=6. Ponieważ z cyfr 4; 5; 7 i 8 nie uda się stworzyć takiej pary liczb by ich suma wynosiła 6, więc ten przypadek jest niemożliwy. Drugie z równań prowadzi do dwóch układów równań:
I

B+E=9 i C+ F=6

II
B+E=8 i C+F=16.
Zauważmy, że żaden z tych układów nie jest możliwy, bo w pierwszym przypadku nie uda się otrzymać sumy równej 6, a w drugim nie zbudujemy ani pierwszej ani drugiej sumy.
 Gdyby GHI było liczbą 378 lub 387, to cyframi B; C; E i F mogły by być cyfry: 4; 5; 6 i 9.
Zgodnie z początkowym założeniem  A+D=3 więc 10(B+E)+(C+F)=78 lub 10(B+E)+(C+F)=87. Z pierwszego równania wynikają następujące dwa układy równań:

I
C+F=8 i B+E=7. Ponieważ z cyfr 4; 5; 6 i 9 nie uda się stworzyć takiej pary liczb by ich suma wynosiła 7 lub 8.  więc ten przypadek jest niemożliwy. Drugi układ równań to: B+E=6 i C+F=18. Żadnej z tych sum niestety nie otrzymamy z cyfr 4; 5; 6 i 9. Drugie równanie prowadzi do następujących dwóch układów równań:
I
B+E=8 i C+ F=7

II
B+E=7 i C+F=17.

Podobnie jak poprzednio, żaden z tych dwóch układów nie da się otrzymać. Załóżmy więc, że G=4.
Wówczas A=1, a D=2 lub D =3. Mamy do sprawdzenia następujące przypadki:
459; 468; 486 i 495. Przy założeniu, że GHI = 459 lub GHI=495, pod literami: B; C; D; E i F ukrywają się cyfry: 2; 3; 6; 7 i 8. Wówczas ABC+ DEF=459 lub ABC+DEF=495, ale ABC+DEF=100(A+D)+10(B+E)+(C+F). Gdy  ABC+ DEF=459, to C+F musi być równe 9. Oznacza, to, że C=2 i F=7, lub C=3 i F=6. W pierwszym przypadku D musi wynosić 3, a B+F=5, co jest niemożliwe. W drugim przypadku D = 2 i B+E=15, ale 6+8=14, czyli też nie możliwe.
Gdyby  ABC+DEF=495, to wówczas C+F=5 lub C+F=15. W pierwszym przypadku C=2, a F=3. Tak być nie może, bo jedna z tych liczb jest zarezerwowana dla litery D. Pozostaje więc przypadek C+F=15. Oznacza to ,że C=7 i F=8. Wówczas B+E=8, czyli B=2 i E=6 i oczywiście D=3. Mamy pierwsze rozwiązanie 127+368=495.
Sprawdźmy jeszcze przypadek, w którym GHI=468 lub GHI=486. Wówczas dla liter B; C; D; E i F pozostają cyfry: 2; 3; 5; 7 i 9. Ponieważ  ABC+ DEF=468, lub  ABC+ DEF=486, mamy następujące dwa równania:  100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=468, lub 100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=486.
Pierwsze z tych równań prowadzi do układu:
C+F=8

B+E=6
D=3
które nie ma rozwiązania,
lub układu
 C+F=8
B+E=16
D=2.

Ze środkowego równania wynika, że B=7 i E=9

Wówczas C=3 i F=5.
Poszukiwane rozwiązanie to: 173+295=468
b) Największą możliwą liczbą, jaką może być GHI to 981.
Oznacza to, że
100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=981.

Równanie to prowadzi do poniższego układu równań:
C+F=11
B+E=7
A+D=9
Pierwsza równość może mieć postać: 4+7=11; 5+6=11.
Druga równość może mieć postać: 2+6=7; 3+4=7
Trzecia równość może mieć postać: 2+7=9; 3+6=9; 4+5=9.

Łatwo zauważyć, że rozwiązaniem będzie:
235+746=981.

Zajmijmy się teraz równaniem
ABC+DEF=GHIJ.
Jak poprzednio, można łatwo dowieść, że GHIJ jest podzielne przez 9.
Łatwo też zauważyć, że G=1. Załóżmy na razie, że H=0.

Wówczas GHIJ może być jedną z liczb: 1026; 1035; 1053; 1062.
Sprawdźmy kolejno te cztery liczby.
Gdy GHIJ=1026, to dla liter A; B; C; D; E; F pozostają cyfry: 3; 4; 5; 7; 8 i 9. Wyprowadzone poprzednio równanie będzie mieć postać:
100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=1026.
Wówczas C+F=16, czyli C=7 i F=9
B+E=11, więc B=3 i E=8
A+D=9, czyli A=4 i D=5.

Szukana równość ma więc postać
437+589=1026
Poszukajmy teraz maksymalnej sumy ABC+DEF.
975+864=1839
Jednak, ta liczba nie dzieli się przez 9. Czyli największe GHIJ to 1836.
Przy założeniu, że H=8 mamy jeszcze liczby 1827; 1809.
Sprawdźmy, czy któraś z tych liczb spełnia warunki zadania.

Przeanalizujmy jak poprzednio następujące równanie
100(A+D)+10(B+E)+(C+F)=1836
Wynika z niego, że A+D=17, czyli A=8 i D=9. Jest to niemożliwe, bo 8 występuje w liczbie GHIJ. Oznacza to że H nie może wynosić 8.
Niech więc H wynosi 7.
Do sprawdzenia mamy następujące liczby: 1782; 1764; 1746; 1728
Dla wszystkich tych liczb A+D=17 lub A+D=16.
Ponieważ 17 to 9+8, więc przy tej równości GHIJ może być równe 1764 lub 1746.

B+E musi więc być równe: albo 6; albo 5; albo 4; albo 3. 6 jest jednak niemożliwe. Niech więc B+E=3, co oznacza, że B=0 i E=3. Wówczas C+F=16, co jest niemożliwe, bo największą cyfrą do wykorzystania jest 7.
W takim razie, niech B+E=4. Wówczas C+F=6.
Jednak 4 to 0+4, a 6 to 2+6, czyli B+E nie może być równe 4.
Niech więc B+E=5, wówczas C+F=14, co jest niemożliwe.
Oznacza to, że A+D nie może być równe 17.
Niech więc A+D=16. Ponieważ 16 to 9+7, a cyfra 7 występuje w sprawdzanych liczbach więc jest to nie możliwe.
Niech H wynosi 6.

Do sprawdzenia mamy: 1692; 1683; 1674; 1638; 1629; 1620; 1602
Sprawdźmy liczbę 1692
Dla tej liczby C+F musi być równe 12
B+E=8
i
A+D=16
Z ostatniego równania wynika, że A=7 i D=9. Jednak cyfra 9 została już wykorzystana, czyli liczba 1692 odpada.

Sprawdźmy 1683.
Teraz C+F musi wynosić 13, więc C=4 i F=9, co jest niemożliwe, bo 9 wystąpi na początku
Sprawdzamy 1674.
Teraz C+F=14. Będzie to spełnione dla 5+9, co jest niemożliwe.
Sprawdzamy liczbę 1638
Łatwo sprawdzić, że
A+D=15 (w liczbie występuje cyfra 3). Aby jednak A+D =15 to jedna z liczb musi być 6 lub 8. Jest to niemożliwe.

Sprawdzamy 1629
A+D=15, czyli 8+7
B+E=12, co jest sprzeczne z poprzednim warunkiem.
Sprawdzamy 1620
A+D=15 czyli 7+8
B+E=11 czyli 5+6
C+F=10 nie da się

Sprawdzamy 1602
A+D=15 czyli 7+8
B+E=9 czyli  4+5
C+F=12 czyli 3+9;
Szukana równość to
743+859=1602





PARTNERZY
alter edukacja
Test IQ
oferty pracy nauczyciel
Piatnik
spinor's


©2004 made and hosted by mediacom