|
|
 |
EGZAMIN TRZECH UCZNIÓW
ROZWIĄZANIE ZADANIA |
|
Ponieważ łączna suma wszystkich punktów zdobytych przez uczniów wynosi 9 + 9 + 22 = 40 punktów, więc ilość zdawanych egzaminów, musi być liczbą, która jest dzielnikiem liczby 40. Dlatego n musi należeć do zbioru {1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40}. Punktacja musi być tak dobrana, by spełnione były warunki: |
|
 |
Gdyby był tylko jeden egzamin, wówczas każdy z uczniów miałby inną ilość punktów. Jednak uczniowie B i C mają taką samą ilość punktów, więc egzaminów było więcej niż 1. Ponieważ uczeń B był najlepszy z j. polskiego, a w sumie zdobył tylko 9 punktów, oznacza to, że ilość punktów za pierwszą lokatę nie może przekraczać liczby 9. Łączna suma punktów ucznia B to suma punktów za j. polski i jeszcze punkty za pozostałe egzaminy. Przy dwóch egzaminach, za każdy egzamin, łącznie byłoby do zdobycia 20 punktów. Gdyby uczeń B zdobył z j. polskiego 9 punktów, to by, łącznie mieć 9 punktów, za drugi egzamin musiałby zdobyć 0 punktów, czyli zająć na tym drugim egzaminie trzecią lokatę. Oznacza to, że za drugą lokatę byłoby do zdobycia 11 punktów, czyli więcej niż za pierwszą lokatę. Egzaminów, więc było więcej niż 2. Z warunku |
|
Oznacza to, że egzaminów było mniej niż 20. Ogranicza, to ilość egzaminów do zbioru {4; 5; 8; 10}.
Załóżmy, że były cztery egzaminy. Wówczas zachodzi następujący warunek: |
|
Mamy do sprawdzenia następujące przypadki: |
|
 |
Rozpatrzmy kolejno wszystkie 8 przypadków. Zauważmy, że przy czterech egzaminach, łączny rezultat każdego ucznia, jest sumą czterech liczb.
W pierwszym przypadku uczeń B zdobyłby 9 punktów, za j. polski i po 0 punktów (miałby trzecią lokatę) z pozostałych egzaminów. Do rozdzielenia byłyby jeszcze następujące liczby: 9; 9; 9; 1; 1; 1; 1; i 0. Żadna kombinacja czteroliczbowa pozostałych ośmiu liczb nie daje w sumie 9. Ten przypadek odpada. Odpadają też przypadki: drugi, trzeci, czwarty i piąty, gdyż w tych przypadkach nie uda się uzyskać sumy czterech składników równych 9.
W przypadku szóstym uczeń B dostał 6 punktów za j. polski i po jednym punkcie za pozostałe trzy egzaminy. Pozostały jeszcze liczby: 6; 6; 6; 3; 3; 3; 3; 1. Z pośród tych liczb nie uda się jednak dobrać czterech, których suma wyniesie 9. Ten przypadek też odpada.
Z liczb w pozostałych dwóch przypadków, też nie stworzymy sumy czterech składników równej 9. Oznacza, to, że na pewno nie były to cztery egzaminy.
Załóżmy więc, że egzaminów było 5.Wówczas: |
|
 |
Zachodzi to w następujących przypadkach. |
|
 |
Łączna suma punktów każdego z uczniów jest teraz sumą pięciu składników.
W pierwszym przypadku, rezultaty egzaminów mogą być następujące.
Uczeń B: osiągnie najwyższą lokatę z j. polskiego (7 p) z dwóch dalszych przedmiotów osiągnie drugą (1 p) lokatę i z dwóch pozostałych trzecią lokatę (0 p).
Podobnie uczeń C.
Uczeń A z trzech egzaminów osiągnie pierwszą lokatę, z jednego – drugą lokatę i z jednego trzecią lokatę.
W przypadku drugim i trzecim, jest niemożliwe zgromadzenie 9 punktów.
W czwartym przypadku uczeń B zdobędzie 5 punktów za egzamin z j. polskiego i po jednym punkcie z pozostałych czterech egzaminów.
Uczeń C na czterech egzaminach miał drugą lokatę i zdobył po 2 punkty. Na egzaminie z j. Polskiego miał trzecią lokatę i zdobył 1 punkt. W sumie ma więc 9 punktów.
Uczeń A był najlepszy na pozostałych egzaminach (po za j. Polskim) i zgromadził za nie 20 punktów. Na j. polskim był drugi, zdobywając 2 punkty. Razem dostał 22 punkty.
Załóżmy teraz, że egzaminów było 8. Zachodzą wówczas następujące przypadki |
|
 |
W pierwszym przypadku możliwe jest, ze
uczeń B miał najwyższą lokatę na dwóch egzaminach (w tym na egzaminie z j. polskiego). Na jednym egzaminie miał drugą lokatę zdobywając jeden punk i na pięciu egzaminach miał trzecią lokatę.
Uczeń C był najlepszy na jednym z egzaminów, na pięciu miał drugą lokatę i na dwóch egzaminach miał trzecią lokatę.
Uczeń A był najlepszy na pięciu egzaminach, na dwóch miał drugą lokatę i na jednym miał trzecia lokatę.
W drugim przypadku nie jest możliwe utworzenie dwóch sum składających się z 8 składników, aby ich suma wynosiła 9 z liczb: 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 2; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0.
Załóżmy jeszcze, że było 10 egzaminów. Mamy wówczas tylko jeden przypadek |
|
 |
Wówczas możliwym rozwiązaniem jest:
Uczeń B zdał z pierwszą lokatą trzy egzaminy i 7 pozostałych z trzecią lokatą.
Uczeń C zdał 9 egzaminów z drugą lokatą i jeden z trzecią lokata.
Uczeń A zdał 7 egzaminów z pierwszą lokatą jeden egzamin z drugą lokatą i dwa egzaminy z trzecią lokatą.
Zadanie ma więc cztery rozwiązania. |
|
|
|
|
